b. Las reglas derivadas de negación

Las cinco reglas derivadas de negación que veremos son las siguientes:

1. Contraposición (Cp)
  • A→B
  • ¬B→¬A
2. Modus tollens (MT)
  • A→B
  • ¬B
  • ⊢¬A
3. Principio de no contradiccion (PNC)
  • ¬(A∧¬A)
4. Principio de tercio excluso (PTE)
  • A∨¬A
5. Ex contradictione quodlibet (ECQ)
  • A∧¬A
  • B          

Fíjate en esto:

Ya conocemos las reglas de Contraposición (como una de las propiedades del condicional) y Modus Tollens.

Los principios de no contradicción y de tercio excluso se pueden invocar en una deducción en cualquier línea, y son dos axiomas que se postulan como vedaderos en la lógica de enunciados.

La regla de Ex contradictione quodlibet (de una contradicción, cualquier cosa) nos dice que si en el curso de una deducción somos capaces de encontrarnos con una contradicción (A∧¬A), entonces en la línea siguiente podemos poner cualquier fbf.

Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.

  1. p→q  
 
  2. ¬p→(r→s)  
 
  3. ¬(¬q→s) ⊢¬r
 
 

4. Cp 1

5. SH 4,2

6. Mut 5

7. MT 6,3
 
 
 
  1. (¬p∧¬q)→¬(r∨¬r)  
 
  2. (q→s)∧(s→p) ⊢t
 
 

3. Simp 2

4. Simp 2

5. SH 3,4

6. Cp 5

7. MP 1,6

8. PTE

9. Prod 8,7

10. ECQ 9
 
 
 

Sigamos examinando las reglas derivadas de la conjunción.