La Prueba por Casos es la regla básica que permite eliminar el disyuntor en dos enunciados de un argumento. El esquema de esta regla de inferencia sería el siguiente:

    A∨B  
 
    A  
 
    ...  
 
    C  
 
    B  
 
    ...  
 
    C  
 
  C  
 

Esta regla afirma que si tenemos una disyunción A∨B y en una línea de una derivación introducimos un supuesto A (primer miembro de la disyunción) del que derivamos la conclusión C en otra línea, y además introducimos otro supuesto, B (segundo miembro de la disyunción original) del que también derivamos C en otra línea, entonces estamos legitimados para deducir C como conclusión de todo ello.

Veamos cómo funciona esta regla con un ejemplo.

Ejemplo de uso de la Prueba por Casos

Prueba el siguiente argumento:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
1

Vemos que hay que conseguir el enunciado s, que es el consecuente de las dos implicaciones de las líneas 2 y 3. También observamos que los dos antecedentes de las medionadas implicaciones son los dos miembros de la disyunción de la línea 1. Pues bien, comenzaremos abriendo un supuesto q, y despés otro supuesto r. Si a partir de cada uno de estos dos supuestos conseguiemos deducir s, entonces los cancelaremos y habremos conseguido la solución. Empezamos suponiedo q:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
  4. q
 

2

A continuación vemos que podemos aplicar el Modus Ponens a las líneas 2 y 4 para conseguir s, con lo cual cancelamos el supuesto abierto la línea anterior:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
  4. q
 
  5. s MP 2,4
 

3

Ahora abrimos un nuevo supuesto con r, con idea de conseguir también s y cancelarlo:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
  4. q
 
  5. s MP 2,4
 
  6. r
 

4

Y aplicando el Modus Ponens entre las líneas 3 y 6, ya podemos cancelar este segundo supuesto con el objetivo cumplido: conseguir s a partir de r:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
  4. q
 
  5. s MP 2,4
 
  6. r
 
  7. s MP 3,6
 

5

Finalmente, ya podemos aplicar la Prueba por Casos a la disyunción de la línea 1 y los supuestos abiertos entre las líneas 4 y 5 y 6 y 7, por lo que escribimos el enunciado s en la línea 8 y damos por terminada la prueba:

  1. q∨r
 
  2. q→s  
 
  3. r→s     ⊢s
 
  4. q
 
  5. s MP 2,4
 
  6. r
 
  7. s MP 3,6
 
  8. s Cas 1,4-5,6-7
 

Fíjate en esto...

En la justificación de la línea 8 hemos escrito la abreviatura de la Prueba por Casos: Cas, seguido de la expresión 1,4-5, 6-7; con ello aludimos a las líneas involucradas en la Prueba por Casos: la ínea 1, donde está la disyunción de la que partimos, las líneas 4 a 5, que son las del primer supuesto subsidiario, y finalmente las líneas 6 a 7, las del segundo supuesto.

Es el momento de practicar lo aprendido sobre el La prueba por casos en la siguiente página.