a. Las pruebas

Introducción al cálculo deductivo: las pruebas

Empecemos con un ejemplo de un argumento que sigue el esquema de la ley lógica del Modus Ponens: [(p→q)∧p]→q, cuyo argumento correspondiente es:

• p→q
• p
• q      

Como habíamos comentado en la página anterior, las letras minúsculas se refieren a enunciados moleculares, pero en realidad no hay razón para restringir los esquemas válidos de inferencia (es decir, las reglas de inferencia) a los enunciados atómicos. Consideremos el siguiente argumento:

• Si llueve y no tengo paraguas, entonces me mojo y me resfrío
• Es el caso que llueve y no tengo paraguas
• Por lo tanto, me mojo y me resfrío

Si formalizamos el argumento anterior, nos quedaría algo así:

• p: llueve
• q: tengo paraguas
• r: me mojo
• s: me resfrío

• (p∧¬q)→(r∧s)
• p∧¬q
• r∧s

Si aplicamos lo expuesto en la sección anterior, es fácil comprobar que este argumento responde a la formulación más general del Modus Ponens:

• A→B
• A
• B      

donde:

• A≡(p∧¬q)
• B≡(r∧s)

Así expuesta, ya tenemos que el Modus Ponens es nuestra primera regla de inferencia.Usaremos las reglas de inferencia para construir >listas de enunciados verdaderos> que llamaremos pruebas.

En particular, el Modus Ponens nos muestra que si en un argumento tenemos dos premisas con la estructura A→B y A , entonces está justificado añadir B como otro enunciado verdadero que forme parte de dicho argumento.>

Veámoslo con un ejemplo

Aplica el Modus Ponens a los enunciados 1 y 3 de la siguiente lista de premisas (esto es, de enunciados de los que partimos como verdaderos, y que, convencionalmente, vienen precedidos de una raya horizontal):

	1.	(¬p∧q)→(¬r∧s)
	2.	(r∨¬s)
	3.	(¬p∧q)

La solución es elemental si nos damos cuenta de que el siguiente argumento tiene la siguiente estructura:

	1.	A→B
	2.	C
	3.	A

donde:

• A≡(¬p∧q)
• B≡(¬r∧s)
• C≡(r∨¬s)

El enunciado A aparece dos veces: en los enunciados 1 y 3; y el enunciado B aparece sólo en el enunciado 1. El enunciado C sólo aparece en el segundo enunciado y no tiene pertinencia para la aplicación del Modus Ponens en este caso concreto, que es de la siguiente manera:

	1.	(¬p∧q)→(¬r∧s)	Premisa
	2.	(r∨¬s)	Premisa
	3.	(¬p∧q)	Premisa
	4.	(¬r∧s)	Modus Ponens 1,3

Esta lista de cuatro enunciados constituye una prueba de que el enunciado 4 se sigue necesariamente de las premisas 1 a 3 (en virtud de la estructura tautológica de la ley del Modus Ponens: [(p→q)∧p]→q, aunque, por conveniencia práctica la hayamos expresado en forma de regla de inferencia).

Observa que en la parte de la derecha hemos escrito "Modus Ponens 1,3", que es la justificación del enunciado 4. Esto es una práctica común.