Otra forma de decir que un enunciado es contradictorio es decir de él que es insatisfacible. Un enunciado es insatisfacible cuando no hay ninguna posible interpretación que lo haga verdadero.

Para averiguar si estamos ante un enunciado contradictorio o insatisfacible, también se puede emplear el método de reducción al absurdo. Al aplicar este método es esencial que recordemos que el objetivo es demostrar que no hay ninguna interpretación posible que la haga verdadera, lo que en algunas ocasiones puede ser más engorroso que simplemente hacer su tabla de verdad.

Simplemente a título ilustrativo, veamos cómo se aplica el método de la reducción al absurdo para averiguar si nuestros enunciados de ejemplo p∧¬p y (¬p∧q)∧(p∧¬q) son contradictorios o insatisfacibles.

Ejemplo primero

Sigamos los pasos ya conocidos:

1

Construiremosuna tabla que nos ayude a llevar adelante todo el proceso, con tantas celdillas como proposiciones y conectivas tenga la fórmula objeto de análisis:

p ∧ ¬ p
       
2

A continuación suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, suponemos que la conectiva principal (la conjunción, en este caso) es verdadera:

p ∧ ¬ p
  V    
3

Para que la conjunción sea verdadera, tenemos que suponer que los dos términos que la componen sean verdaderos simultáneamente (siguiendo la definición de la conjunción que ya conocemos). Por lo tanto:

p ∧ ¬ p
V V V  
4

Vemos en este caso que nos encontramos con una contradicción, pues, según la definición de la negación, si la negación de un enunciado es falsa, dicho enunciado ha de ser verdadero (y viceversa).

p ∧ ¬ p
V V V F

Nos econtramos que p=V y que p=F, y eso no puede suceder simultáneamente, es contradictorio

En este caso es claro que no hay ninguna posible interpretación que haga verdadero el enunciado p∧¬p.

En estos casos en que no hay ninguna interpretación que haga verdadero el enunciado bajo estudio, decimos que dicho enunciado es insatisfacible o contradictorio. Los enunciados contradictorios también son insatisfacibles.

Ejemplo segundo

Veamos cómo aplicar la reducción al absurdo para identificar la contradicción del enunciado (¬p∧q)∧(p∧¬q):

1

Construiremos una tabla que nos ayude a llevar adelante todo el proceso, con tantas celdillas como proposiciones y conectivas tenga la fórmula objeto de análisis:

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
 
2

A continuación suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, suponemos que la conectiva principal (la conjunción, en este caso) es verdadera:

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V
3

Para que la conjunción sea verdadera, tenemos que suponer que los dos términos que la componen sean verdaderos simultáneamente (siguiendo la definición de la conjunción que ya conocemos). Por lo tanto:

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V V V
4

Centrémonosen el sub-enuciado ¬p∧q de la izquierda, cuya conectiva principal es una conjunción. Para que sea verdadero, es imprescindible que los dos enunciados atómicos que lo componen (p, q) sean verdaderos.

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V F V V V V

Observa que si la negación de p es V, entonces p es F

5

Ahora centrémonos en el otro sub-enunciado de la conectiva principal, el de la derecha: p∧¬q. Se trata, a su vez, de otra conjunción. Por lo tanto, para ser verdadera han de ser verdaderos sus dos componentes:

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V F V V V V V V F

Observa también aquí que si la negación de q es V, entonces q es F.

6

En la tabla anterior ya se ven dos contradicciones: p=F y p=V; y q=V y q=F

(¬ p ∧ q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V F V V V V V V F

En este caso también se aprecia claramente que no hay ninguna posible interpretación posible del enunciado bajo estudio que lo haga verdadero, por lo que (¬p∧q)∧(p∧¬q) tiene la estructura lógica de una contradicción